فرمول مدل CAPM

برگشت سود پورتفولیو = PR

فرمول مدل CAPM

به گزارش پایگاه خبری بورس پرس، محمد سعید حیدری مدیر سبدگردانی کارگزاری سرمایه و دانش در قالب یادداشتی به ملت بازار، تحلیل یکی از مدل‌های بنیادین سرمایه‌گذاری در جهان بر پایه تئوری قیمت‌گذاری دارایی‌های سرمایه‌ای ( CAPM ) پرداخت و اثرات تغییر نرخ سود بانکی در بازار سرمایه بر پایه این تئوری را پیش بینی کرد.

بحث نرخ سود بدون ریسک در سال جاری مهم ترین بحث در سطح جهان است. در ایران بحث بر سر کاهش نرخ سود بانکی (با اندکی اغماز فرمول مدل CAPM همان نرخ سود بدون ریسک) و در بازارهای جهانی بحث بر سر افزایش نرخ سود (به ویژه نرخ فدرال رزرو آمریکا)، در یادداشت پیش‌رو به صورت مختصر و بر مبنای یکی از بنیادی‌ترین تئوری‌های مالی، سعی شده یک پیش‌بینی کلی نسبت به اثرات کاهش نرخ سود بانکی بر سایر بازارهای مالی و سرمایه‌گذاری (به ویژه بورس اوراق بهادار) داشته باشیم.

یکی از مدل‌های بنیادین سرمایه‌گذاری در جهان بر پایه تئوری قیمت‌گذاری دارایی‌های سرمایه‌ای ( CAPM ) است. این تئوری که صحت آن با برخی ملاحظات جزیی، بارها مورد تایید قرار گرفته است، دارای فرمول‌ها و روابطی است که بر مبنای آن می‌توان نسبت به برخی پیش‌بینی‌ها در بازارهای مالی اقدام کرد.

یکی از مهمترین موارد در این رابطه پیش بینی تغییرات نرخ سود بانکی (بازده بدون ریسک) بر بازار سرمایه است. بر مبنای فرمول بنیادین CAPM که دیاگرام تصویری آن در ذیل ارایه شده است، با تغییر در نرخ سود بدون ریسک (قرار گرفته بر روی محور عمودی) در کوتاه مدت پورتفوی بازار دچار تغییر می شود.

البته در بلندمدت قطعا کاهش نرخ سود بانکی بر وضعیت بنیادین شرکت‌هایی که سهامشان در بازار سرمایه وجود دارد اثرگذار بوده اما در کوتاه‌مدت صرفا بر قیمت سهام این شرکت‌ها در بازار موثر است. به عنوان نمونه با کاهش نرخ سود بدون ریسک، پورتفوی بازار از نقطه Q به نقطه P تغییر می‌یابد که در آن بازده و ریسک هر دو کمتر از حالت قبل است، معنی این اتفاق در بازار سرمایه به این شکل (تصویر شماره یک) تفسیر می‌شود:

1- از آنجا که هیچ اتفاق بنیادینی در کوتاه‌مدت در بازار رخ نداده، در کوتاه‌مدت و حتی بلندمدت این جابه‌جایی به این معنی است که از یک طرف قیمت سهام (با فرض ثابت بودن سود شرکت‌ها) افزایش یافته و نسبت P/E که همان نرخ بازده بازار است کاهش می‌یابد.

2- کاهش ریسک پورتفوی بازار به معنی افزایش وزن شرکت‌های کم ریسک نسبت به شرکت‌ها و سهام ریسکی در بازار سرمایه است . از آنجا که در کوتاه‌مدت و حتی میان مدت اتفاق بنیادینی در بازا رخ نمی‌دهد، این تغییر در پورتفوی بازار از طریق افزایش قیمت سهام شرکت‌های کم ریسک نسبت به سهام شرکت‌های پر ریسک است (یا به عبارتی با عنایت به بند قبلی، درصد افزایش قیمت سهام کم ریسک بیش از افزایش قیمت در سهام ریسکی است). به صورت شهودی نیز این موضوع قابل اثبات است، چرا که با کاهش سود بانکی کسانی که سرمایه‌های خود را از بازار پول به بازار سرمایه منتقل می‌کنند، در وهله اول بر روی سهام کم‌ریسک سرمایه‌گذاری می‌کنند (دستیابی به نرخ سود بالاتر باعث نمی‌شود ذائقه محافظه‌کارانه اینگونه اشخاص به کلی دگرگون شود).

3- افزایش شیب خط متصل کننده پورتفوی بازار و بازده بدون ریسک هم در قالب مفهوم افزایش صرف ریسک و نسبت شارپ (کاهش ریسک‌پذیری جامعه و یا افزایش بازده مورد توقع در ازای افزوده شدن یک درصد به ریسک سرمایه‌گذاری فرد) قابل تفسیر است (در بند شماره 2 همین مفهوم در قالب افزایش بیشتر قیمت سهام کم ریسک نسبت به سهام پرریسک صحه‌گذاری شد)؛ و هم در قالب افزایش فاصله نسبی بازده بازار و بازده بدون ریسک که این افزایش فاصله نسبی باعث می‌شود افراد ریسک‌پذیر را به اخذ اعتبار بانکی بیشتر به منظور معاملات سهام و خرید اعتباری سهام تشویق کند.

به عنوان نمونه وقتی نرخ سود سالانه بانکی 25درصد باشد، یک نوسان شش درصدی در طول یک فصل کافی است تا فرد بتواند هم هزینه اعتبار دریافتی از کارگزار خود را تأمین و هم کسب سود کند، در حالی که اگر نرخ سود 10درصد باشد، تنها یک نوسان 3 درصدی (که بسیار محتمل تر از نوسان 6درصدی است) برای منظور فوق‌الذکر کفایت می‌کند و همین موضوع نیز یکی از دلایل بالا بودن حجم معاملات اعتباری سهام در کشورهای توسعه‌یافته است.

همانگونه که مشاهده می‌شود با کمک تئوری CAPM نحوه اثرگذاری کاهش نرخ سود بانکی بر بازارهای مالی را می‌توان مشاهده کرد البته این تئوری در ارتباط با کل بازار مالی کشور است و صرفا شامل بازار سهام نیست، لذا بروز برخی انحرافات در نتایج دنیای واقعی نسبت به پیش‌بینی‌های انجام شده اجتناب‌ناپذیر است، اما در بلندمدت و در شرایط تعادلی این نتایج قطعا حاصل خواهد شد.

چگونه عملکرد پورتفلیو خود را ارزیابی کنیم؟ معرفی ۳ نسبت ترینر، شارپ و جنسن

بسیاری از سرمایه گذاران به اشتباه، موفقیت پورتفولیوی خود را تنها بر اساس برگشت سود قرار می‌دهند. سرمایه گذاران معدودی خطرات موجود در دستیابی به این سود را در نظر می‌گیرند. از دهه ۱۹۶۰ سرمایه گذاران می‌دانند چگونه میزان خطر موجود در نوسان سود را اندازه گیری کنند، اما هیچ معیار و سنجشی وجود ندارد که همزمان بر خطر و برگشت سود سرمایه گذاری معطوف باشد. امروزه ۳ نوع ابزارهای سنجش عملکرد برای ارزیابی پورتفولیو وجود دارد.

نسبت های ترینر (Treynor)، شارپ (Sharpe) و جنسن (Jensen) عملکرد برگشت سود و ریسک را به صورت یک واحد مستقل در می‌آورند؛ اما تفاوت اندکی بین آنها وجود دارد. کدام یک بهتر است؟ شاید بتوان گفت که ترکیبی از هر سه این نسبت ها، بهترین رویکرد باشد.

نسبت ترینر (Treynor)

جک ال ترینر (Jack L. Treynor) اولین نفری بود که به سرمایه گذاران، سنجش و معیار مرکبی از عملکرد پورتفولیو فرمول مدل CAPM ارائه کرد که شامل ریسک هم بود. هدف ترینر یافتن معیار عملکردی بود که بتواند برای تمام سرمایه گذاران فارغ از اولویت های شخصی خود کاربردی باشد. ترینر بیان کرد که ریسک دارای دو مولفه است. این دو مولفه عبارتند از: ریسکی که توسط نوسان در بازار بورس ایجاد می‌شود و ریسکی که ناشی از نوسان اوراق بهادار افراد است.

ترینر مفهوم خط بازار اوراق بهادار را معرفی کرد که رابطه بین برگشت سود پورتفولیو و نرخ برگشت سود بازار را تعریف می‌کند. شیب این خط بیانگر نوسان نسبی بین پورتفولیو و بازار است. ضریب بتا، معیار نوسان پورتفولیوی سهام نسبت به خود بازار است. هرچه شیب این خط بیشتر باشد نسبت ریسک به برگشت سود بیشتر خواهد بود.

به نسبت ترینر، نسبت بازده به نوسان می‌گویند و به صورت زیر به دست می‌آید:

در این فرمول داریم:

برگشت سود پورتفولیو = PR

نرخ بدون ریسک = RFR

بتا = β

صورت کسر تعیین کننده صرف ریسک و مخرج کسر نیز برابر با ریسک پورتفولیو است. نتیجه این کسر بیانگر برگشت سود پورتفولیو به ازای هر واحد ریسک است.

برای بیان شفاف تر این موضوع فرض کنید که سود سالانه S&P 500 برابر با ۱۰ درصد باشد، در حالی که میانگین سود سالانه اوراق قرضه ۵ درصد است. اکنون ارزیابی ۳ مدیر پورتفولیو به شرح زیر است:

مقدار ترینر برای هر کدام نیز به صورت جدول زیر خواهد بود:

هرچه مقدار نسبت ترینر بیشتر باشد، پورتفولیوی بهتری خواهید داشت. اگر مدیریت پورتفولیو صرفا بر اساس عملکرد ارزیابی شده باشد، به نظر می‌رسد که مدیر C بهترین نتایج را کسب کرده است. هرچند هنگامی که ریسک انجام شده توسط هر مدیر برای کسب سود را در نظر بگیریم، مدیر B دارای نتایج بهتری است. در این مورد، هر ۳ مدیر بهتر از کل بازار عمل کرده اند.

از آنجایی که این نسبت فقط از ریسک سیستماتیک استفاده می‌کند، فرض می‌شود که سرمایه گذار دارای پورتفولیوی تقریبا گوناگونی است؛ بنابراین ریسک غیر سیستماتیک در نظر گرفته نمی‌شود. در نتیجه، این نسبت عمدتا برای سرمایه گذارانی قابل اعمال است که پورتفولیوی گوناگونی دارند.

نسبت شارپ (Sharpe)

نسبت شارپ تقریبا مشابه با نسبت ترینر است؛ با این تفاوت که به جای آنکه صرفا ریسک سیستماتیک در نظر گرفته شود، سنجش ریسک همان انحراف معیار پورتفولیو است. این معیار که توسط بیل شارپ (Bill Sharpe) ارائه شده است، در پی اقدامات وی در خصوص مدل قیمت گذاری دارایی سرمایه (CAPM) است و از ریسک کلی برای مقایسه پورتفولیوها با خط بازار سرمایه استفاده می‌کند.

نسبت شارپ به صورت زیر تعریف می‌شود:

در این فرمول داریم:

سود پورتفولیو = PR

نرخ بدون ریسک = RFR

انحراف معیار = SD

با استفاده از مثال ذکر شده برای نسبت ترینر و با فرض اینکه S&P 500 دارای انحراف معیار ۱۸ درصدی در دوره ۱۰ ساله است، می‌توانیم نسبت شارپ را برای مدیران پورتفولیوی زیر تعیین کنیم:

مجددا متوجه می‌شویم که بهترین پورتفولیو لزوما آن پورتفولیویی نیست که سود بیشتر یا در این مورد، سرمایه بیشتری داشته باشد.

نسبت شارپ بر خلاف معیار ترینر، مدیریت پورتفولیو را بر اساس نرخ سود و گوناگونی پورتفولیو ارزیابی می‌کند. بنابراین نسبت شارپ برای پورتفولیوهای گوناگون مناسب تر است زیرا خطرات پورتفولیو را دقیق تر مدنظر قرار می‌دهد.

معیار جنسن (Jensen)

معیار جنسن نیز مانند معیارهای قبل با استفاده از CAPM محاسبه می‌شود. اسم معیار جنسن برگرفته از اسم خالق آن مایکل سی جنسن (Michael C. Jensen) است و سود اضافی و بیش از حد انتظار ایجاد شده توسط پورتفولیو را محاسبه می‌کند. به این معیار، آلفا نیز گفته می‌شود.

نسبت جنسن ارزیابی می‌کند که چه میزان نرخ سود پورتفولیو مرتبط با قابلیت مدیریت است تا سود بالاتر از میانگین ارائه دهد. هرچه این نسبت بیشتر باشد، بازده تعدیل شده ریسک نیز بیشتر می‌شود. پورتفولیویی با سود مثبت مستمر دارای آلفای مثبت و پورتفولیویی با سود منفی مستمر دارای آلفای منفی خواهند بود.

فرمول جنسن به صورت زیر است:

در این فرمول داریم: P R − C A P M

سود پورتفولیو = PR

نرخ بدون ریسک + بتا = CAPM

اگر نرخ بدون ریسک را ۵ درصد و سود بازار را ۱۰ درصد در نظر بگیریم، آلفای سرمایه های زیر بدین شرح است:

سود مورد انتظار پورتفولیو را محاسبه می‌کنیم:

آلفای پورتفولیو را با تفریق سود مورد انتظار از سود واقعی محاسبه می‌کنیم:

کدام مدیر عملکرد بهتری داشته است؟ مدیر E عملکرد بهتری داشته است. زیرا اگرچه مدیر F دارای سود سالانه برابری با مدیر E است، اما انتظار می‌رفت که مدیر E دارای سود کمتری باشد، چون بتای پورتفولیوی او بسیار کمتر از بتای پورتفولیوی مدیر F بود.

نرخ سود و ریسک برای اوراق بهادار بر اساس دوره زمانی متفاوت است. در معیار جنسن به استفاده از نرخ سود بدون ریسک متفاوت برای هر دوره زمانی نیاز است. به منظور ارزیابی عملکرد مدیریت سرمایه برای دوره زمانی ۵ ساله، استفاده از دوره های سالانه نیز به بررسی سود فرمول مدل CAPM سالانه سرمایه منهای سود بدون ریسک برای هر سال و ارتباط دادن آن به سود سالانه در پورتفولیوی بازار منهای نرخ بدون ریسک مشابه نیاز است.

در مقابل، نسبت های ترینر و شارپ، میانگین سود برای کل دوره مورد نظر برای تمام متغیرهای موجود در فرمول را بررسی می‌کند. همانند معیار ترینر، آلفای جنسن نیز صرف ریسک را به صورت بتا محاسبه می‌کند و بنابراین فرض می‌کند که پورتفولیو از گوناگونی کافی برخوردار است. در نتیجه، بهتر است این نسبت برای سرمایه گذاری هایی نظیر صندوق سرمایه گذاری مشترک به کار برده شود.

نتیجه گیری

معیارهای عملکرد پورتفولیو، عوامل مهمی در تصمیمات سرمایه گذاری هستند. این ابزارها اطلاعات ضروری به سرمایه گذاران ارائه می‌دهند تا کارآمدی پول سرمایه گذاری شده را ارزیابی کنند. به یاد داشته باشید، سود پورتفولیو تنها بخشی از ماجرا فرمول مدل CAPM است. بدون ارزیابی بازده تعدیل شده ریسک، سرمایه گذار نمی‌تواند نمای کلی از سرمایه گذاری داشته باشد و این موضوع می‌تواند منجر به تصمیم گیری های مبهم و نامناسب شود.

AzFine آکادمی مهندسی مالی آذر

آلفای جنسن (شاخص عملکرد جنسن یا به اعتبار گذشته آلفا) به منظور تعیین بازده غیرعادی بالاتر از بازده مورد انتظار نظری یک ورقه بهادار یا پرتفولیویی از اوراق بهاداراستفاده می‌شود. اوراق بهادار می‌تواند هر دارایی مثل سهام، اوراق قرضه یا اوراق مشتقه باشد. بازده تئوریک توسط یک مدل بازار، اغلب مدل قیمت گذاری دارایی‌های سرمایه‌ای (CAPM) ‌ پیش بینی می‌شود. مدل بازار از روش‌های آماری به منظور پیش‌بینی مناسب بازده تعدیل شده با ریسک یک دارایی استفاده می‌کند. برای نمونه CAPM از بتا به عنوان یک ضریب استفاده می‌کند.

آلفای جنسن اولین بار در سال ۱۹۶۸ توسط مایکل جنسن به عنوان معیاری برای ارزیابی مدیران صندوق‌های سرمایه‌گذاری مشترک مورد استفاده قرار گرفت. در CAPM فرض بر این است که بازده، «تعدیل شده با ریسک» می‌باشد؛ بدین معنی که ریسک مرتبط با آن دارایی را در نظر می‌گیرد. مفهمومی وجود دارد مبنی بر این که دارایی ریسکی‌تر باید بازده مورد انتظار بالاتری نسبت به دارایی کم ریسک‌تر داشته باشد. اگر بازده یک دارایی بالاتر از بازده تعدیل شده با ریسک آن دارایی باشد، گفته می‌شود آن دارایی «آلفای مثبت» یا «بازده غیرعادی» دارد. سرمایه گذاران دائماً در جستجوی سرمایه‌گذاری‌هایی با آلفای بالاتر هستند.

در چارچوب CAPM ، ورودی‌های زیر برای محاسبه آلفا مورد نیاز است:

آلفای جنسن= بازده پرتفلیو – 〔 نرخ بازده بدون ریسک + بتای پرتفلیو * (نرخ بازده بازار- نرخ بازده بدون ریسک) 〕

راه دیگر درک تعریف می‌تواند از بازنویسی آن بدست آید زمانی که:

اگر ما مازاد بازده صندوق از بازده بدون ریسک را به عنوان D _R º (R_i-R_f) Δ R ≡ ( R i − R f ) \equiv (R_-R_)> و D _M º (R_M-R_f) Δ M ≡ ( R M − R f ) \equiv (R_-R_)> معرفی کنیم سپس آلفای جنسن را می‌توان بصورت زیر بیان کرد:

α J = Δ R − β i M Δ M =\Delta _-\beta _\Delta _> استفاده کمی در زمینه مالی

آلفای جنسن آماره‌ای است که معمولاً در امورمالی تجربی به منظور ارزیابی بازده نهایی یک سهم در مواجهه با استراتژی معین مورد استفاده قرارمی گیرد. در تعمیم مفهوم بالا به محیط چند عاملی، آلفای جنسن یک اندازه‌گیری از بازده نهایی مرتبط با یک استراتژی اضافی است که باعامل‌های موجود توضیح داده نشده‌است. اگر ما بازده مازاد بازار را به عنوان تنها عامل در نظر بگیریم، آلفا رو از CAPM بدست می‌آوریم. اگر ما عامل‌های فاما-فرنچ رو اضافه کنیم آلفای ۳ عامل و بیشتر را بدست می‌آوریم. اگر آلفای جنسن معنی دار و مثبت باشد، پس استراتژی درنظرگرفته شده دارای سابقه‌ای است درتولید بازده‌های بالاتر از آنچه که براساس عوامل دیگر به تنهایی انتظار می‌رود. برای مثال، در مورد ۳ عامل، ما ممکن است حرکت عامل بازده‌ها را بر روی ۳ عامل بازده‌ها پس بگیریم به منظور اینکه یک صرف قابل فرمول مدل CAPM توجهی در بالای اندازه، ارزش و بازده بازار پیدا کنیم.

Jensen, M.C. , “The Performance of Mutual Funds in the Period 1945-1964,” Journal of Finance 23, 1968, pp. 389-416

پاورپوینت مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای ( CAPM)

پاورپوینت مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای ( CAPM)
این فایل در زمینه “مدل قیمت گذاری داریی های سرمایه ای (CAPM)”می باشد که در حجم 21 اسلاید همراه با تصاویر، نمودار و توضیحات کامل با فرمت پاورپوینت تهیه شده است که می تواند به عنوان ارائه کلاسی(کنفرانس) درسهای تصمیم گیری در مسائل مالی و مدیریت سرمایه گذاری رشته های حسابداری و مدیریت مالی در مقطع کارشناسی ارشد مورد استفاده قرار گیرد. بخشهای عمده این فایل شامل موارد زیر می باشد:

مدل قیمت گذاری CAPM

فرضیات مدل قیمت گذاری CAPM

منطق مدل قیمت گذاری دارایی سرمایه ای

انتقادهایی که برای مدل قیمت گذاری دارایی سرمایه ای وجود دارد

معنی و مفهوم ریسک

روشهای اندازه گیری ریسک

رابطه ریسک و بازده

خط بازار در یک بازار غیر موثر(ناکارا)

مدل قیمت گذاری داراییهای سرمایه ای کاهشی :(D-CAPM))

مدل قیمت گذاری داراییهای سرمایه ای تعدیلی(A-CAPM))

پاورپوینت تهیه شده بسیار کامل و قابل ویرایش بوده و به راحتی می توان قالب آن را به مورد دلخواه تغییر داد و در تهیه آن کلیه اصول نگارشی، املایی و چیدمان و جمله بندی رعایت گردیده است.

میرون شولز و رابرت مرتون

فیشر بلاک، رابرت مرتون و میرون شولز با توسعه روش جدید تعیین ارزش مشتقات کمک شایانی به پیشرفت اقتصاد کردند. کار نوآورانه آنها در اوایل دهه ۱۹۷۰ مساله طولانی در اقتصاد مالی را حل نمود و روش‌های جدیدی را در ارتباط با ریسک مالی در نظریه و عمل فراهم نمود.
روش‌های آنها به رشد سریع بازارها برای مشتقات طی دو دهه گذشته کمک شایانی کرده است. فیشر بلاک در سال ۱۹۹۵ در گذشت، از این رو جایزه نوبل سال ۱۹۹۷ به مرتون و شولز تعلق گرفت. شولز متولد سال ۱۹۴۱ در ایالت اونتاریوی کانادا است و در سال ۱۹۶۸ دکترای اقتصاد خود را از دانشگاه شیکاگو دریافت کرد وبه تدریس و تحقیق در دانشگاه‌های آمریکا مشغول شد. مرتون نیز در سال ۱۹۴۴ در نیویورک متولد شد و دکترای خود را ابتدا در فرمول مدل CAPM رشته ریاضی دنبال کرد، ولی بعد به اقتصاد تغییر رشته داد.
کار مرتون، شولز و بلاک فراتر از قیمت‌گذاری مشتقات بوده است. در حالی که اغلب اوراق اختیاری با ماهیت مالی هستند، اما برخی قراردادها و تصمیمات اقتصادی را نیز می‌توان به شکل اختیارات نگاه کرد، برای مثال سرمایه‌گذاری در ساختمان و ماشین‌آلات ممکن است فرصت‌ها(اختیاراتی) را برای توسعه به بازارهای جدید در آینده فراهم کند. از این‌رو روش‌شناسی آنها برای حیطه گسترده‌ای از کاربردها قابل استفاده بوده است.

● تاریخچه ارزش‌گذاری اختیار
اوراق اختیار به عاملان اجازه می‌دهد تا در مقابل ریسک یک‌جانبه محافظت شوند، در واقع این تنها حق است و تعهدی ندارد که قلم مورد نظر را در قیمت از پیش تعیین شده خرید و فروش کند. برای مثال یک شرکت واردکننده انگلیسی پیش‌بینی می‌کند که پرداخت‌های زیادی فرمول مدل CAPM در واحد‌دلار آمریکا در آینده باید انجام دهد، از این رو خود را در برابر ریسک یک‌جانبه زیان‌های بزرگ ناشی از کاهش ارزش پوند انگلیس با خرید اوراق اختیار برای‌دلار در بازار اختیارهای ارز خارجی محافظت کند.
تلاش‌ها برای ارزش‌گذاری اختیارها و سایر مشتقات فرمول مدل CAPM تاریخچه طولانی دارد. یکی از اولین کارها برای تعیین ارزش اختیارات سهام توسط لوئیس باچلیر در سال ۱۹۰۰ در سوربن صورت گرفت. فرمول او مبتنی بر مفروضات غیرواقع‌بینانه‌ای بود که نرخ بهره صفر و فرآیندی با قیمت منفی را در بر می‌گرفت. این فرمول بعدا توسط اسپرنکل، بونس و ساموئلسون بهبود یافت. آنها فرض منفی شدن قیمت‌ها و صفر بودن نرخ بهره را اصلاح کردند. آنها همچنین فرض کردند که سرمایه‌گذاران ریسک‌گریز بوده و برای ریسک مبلغ اضافه‌ای درخواست می‌کنند. تلاش برای ارزش‌گذاری تا قبل از سال ۱۹۷۳ ارزش انتظاری اختیار سهام را در زمان انقضا تعیین می‌کرد و آن را برای سال مورد نظر تنزیل می‌کرد. چنین رویکردی مستلزم آن است که مبلغ اضافی برای ریسک نیز تنزیل گردد، چراکه ارزش اختیار به مسیر ریسکی قیمت سهام از روز ارزش‌گذاری تا تاریخ سر رسید بستگی دارد.
اما تعیین مبلغ اضافی برای ریسک چندان هم شفاف نیست. این مبلغ نه تنها باید منعکس‌کننده ریسک برای تغییرات در قیمت سهام باشد، بلکه بایستی نگرش سرمایه‌گذار به ریسک را نیز در نظر بگیرد. این مسائل توسط شولز، مرتون و بلاک با این شناخت که ضرورتی برای استفاده از هیچ مبلغ اضافه‌ای برای ریسک در ارزش‌گذاری نیست، حل گردید. این بدان مفهوم نیست که این مبلغ حذف می‌شود، بلکه در قیمت سهام ترکیب نمی‌شود.
این ایده را می‌توان به‌صورت ساده زیر توضیح داد. برای مثال اوراق اختیار برای خرید سهم معینی در قیمت ۱۰۰‌دلار در سه ماه را در نظر بگیرید. واضح است که ارزش این اختیار به قیمت جاری سهام بستگی دارد، هر چه قیمت سهام بالاتر باشد این احتمال وجود دارد که در سه ماه فراتر از ۱۰۰‌دلار رود.
فرمول برای ارزش‌گذاری اختیار بایستی دقیقا تعیین کند چطور ارزش اختیار به قیمت جاری سهام بستگی دارد. میزان ارزش اختیار که با تغییر در قیمت جاری سهام تغییر می‌کند معروف به دلتا است. فرض کنید که وقتی قیمت جاری سهام ۲‌دلار بالا (پایین) رود، ارزش اختیار ۱‌دلار افزایش (کاهش) می‌یابد. یعنی دلتا برابر نیم است. همچنین فرض کنید که سرمایه‌گذار دارای پرتفوی سهامی است که می‌خواهد در برابر ریسک تغییرات در قیمت سهام آن را محافظت کند. برای افزایش‌های کوچک در قیمت سهام، سود سرمایه‌گذار با پرتفوی بدون ریسک در سهام همانند خسارتی است که از اختیارات متحمل می‌شود و بالعکس. با توجه به اینکه پرتفوی سرمایه‌گذار بدون ریسک است، بازدهی آن باید برابر اوراق خزانه سه ماهه بدون ریسک باشد و اگر‌ غیر‌این باشد، معاملات آربیتراژ برای حذف سودهای بدون ریسک صورت خواهد گرفت.
با تغییرات در قیمت سهام در طول زمان و نزدیک شدن به سررسیدها، دلتای اختیار نیز تغییر می‌کند. به منظور حفظ پرتفوی سهام – اختیار بدون ریسک لازم است که سرمایه‌گذار ترکیب پرتفو را تغییر دهد. مرتون و شولز فرض کردند که چنین مبادله‌ای می‌تواند به طور مداوم و بدون هزینه معاملات صورت ‌گیرد. شرط اینکه بازدهی پرتفوی سهام – اختیار بدون ریسک به نرخ حالت بدون ریسک در هر نقطه از زمان برسد، اشاره ضمنی به معادله دیفرانسیل جزئی دارد فرمول مدل CAPM که راه‌حل فرمول بلاک-شولز برای اختیار است:
بر طبق فرمول فوق، ارزش اختیار به اختلاف بین قیمت انتظاری سهام (جمله اول سمت راست) و هزینه انتظاری (جمله دوم) بستگی دارد. در صورتی که قیمت جاری سهام، نوسان قیمت سهام، نرخ بهره بدون ریسک بالا باشد و زمان سررسید طولانی‌تر و قیمت اوج پایین‌تر و احتمال اعمال اختیار بالاتر باشد (این احتمال تحت بی‌تفاوتی به ریسک با تابع توزیع نرمال استاندارد ارزیابی می‌شود) ارزش اختیار بالا خواهد رفت.
تمامی پارامترها به جز زیگما در معادله قابل مشاهده است و آن هم باید از داده‌های بازار تخمین زده شود. در مقابل، اگر قیمت اختیار معلوم باشد، می‌توان فرمول را برای تخمین زیگما حل کرد.
فرمول قیمت‌گذاری اختیار بعد از بلاک و شولز نامگذاری شد، چون آنها نخستین افراد در استخراج آن بودند. آنها نتایج فرمول مدل CAPM خود را بر مبنای مدل قیمت‌گذاری دارایی سرمایه‌ای قرار دادند. آنها برای کار روی مقاله ۱۹۷۳ به شدت تحت تاثیر مرتون بودند. البته مرتون تعمیم‌های مهمی را اندیشید که تعادل بازار را برای ارزش‌گذاری اختیار لازم ندانست و تنها عدم وجود فرصت‌های آربیتراژ را کافی دانست. روشی که در مثال بالا توضیح داده شد دقیقا در شرایط عدم وجود آربیتراژ است که به ارزش‌گذاری سایر انواع مشتقات نیز تعمیم می‌یابد.
مقاله ۱۹۷۳ مرتون نیز فرمول بلاک-شولز و برخی تعمیم‌ها از قبیل نرخ بهره احتمالی را در خود داشت. فرمول قیمت‌گذاری اختیار راه‌حل مساله‌ای هفتاد ساله بود و از اهمیت علمی خاصی برخوردار است. اهمیت اصلی کار مرتون و شولز به نقش نظری و کاربردی روش تحلیل آنها بازمی‌گردد. این اهمیت به قیمت‌گذاری اوراق مشتقه و ارزش‌گذاری در سایر موراد نیز گسترش یافت.
۲) قیمت‌گذاری مشتقات
روشی که در اینجا توضیح داده شد برای قیمت‌گذاری ابزارهای مشتقات بسیار مهم بوده است. شولز و مرتون از پیشگامان قیمت‌گذاری اختیار بودند و این کار در طی دهه‌های گذشته با سرعت روز افزونی به پیش رفته است.
اختیارات برای ابزارهای‌ غیر‌از سهام به فرمول‌های دیگری منجر شد که به صورت عددی قابل حل هستند. البته همان روش برای تعیین ارزش اختیارات پول رایج، نرخ بهره و اوراق آتی و غیره به کار رفته است. برخی مفروضات اولیه و تا حدی محدود‌کننده فرمول بلاک-شولز بعدا کنار گذاشته شد. نرخ بهره در قیمت‌گذاری اختیار مدرن به صورت تصادفی بوده و نوسان قیمت سهام می‌تواند به طور تصادفی در طول زمان تغییر کند، هزینه‌های معاملاتی نیز می‌تواند مثبت باشد و فرآیند قیمت را می‌توان مدیریت کرد. تمامی این بسط‌ها مبتنی بر روش اولیه تحلیل بلاک، شولز و مرتون بوده است.
۳) بدهی‌های شرکتی
بلاک، مرتون و شولز در ۱۹۷۳ دریافتند که سهام می‌تواند به صورت اختیار بر کل شرکت تفسیر گردد (عنوان مقاله آنها در سال ۱۹۷۳ قیمت‌گذاری اختیار و بدهی‌های شرکتی بود).
از این‌رو روش مذکور می‌تواند برای تعیین ارزش سهام استفاده شود و در صورتی که سهام‌ها مبادله نشوند، می‌تواند مهم باشد. چون سایر بدهی‌های شرکت نیز ابزارهای مشتقه هستند می‌توان با همان روش ارزش‌گذاری شوند. بدین ترتیب بلاک، مرتون و شولز بنیان رضایت بخشی را برای نظریه منسجم قیمت تمامی بدهی‌های شرکت بنا کردند. روش‌شناسی بلاک-مرتون و شولتز در تلاش‌های اخیر برای طراحی قراردادهای مالی بهینه مهم بوده و جنبه‌های دیگر قانون ورشکستگی را نیز به حساب آورده است.
۴) ارزیابی سرمایه‌گذاری
در انتخاب بین گزینه‌های مختلف سرمایه‌گذاری، انعطاف‌پذیری عامل کلیدی مهمی است. ماشین‌آلات ممکن است در انعطاف‌پذیری برای توقف و شروع تولید، استفاده از منابع مختلف انرژی و غیره متفاوت باشند. روش‌شناسی بلاک، مرتون، شولز اغلب قادر است تصمیمات سرمایه‌گذاری آگاهانه در چنین مواردی را تسهیل کند.
۵) ضمانت‌ها و قراردادهای بیمه
بسیاری از انواع قراردادها فرمول مدل CAPM و ضمانت‌های بیمه می‌تواند با استفاده از نظریه مدرن قیمت‌گذاری اختیار ارزش‌گذاری شوند. فرض کنید که شرکت بیمه می‌خواهد ارزش قرارداد بیمه‌ای را تعیین کند که صاحبان اوراق را در برابر ریسک ورشکستگی شرکت صادر‌کننده اوراق حمایت کند. ارزش چنین قرارداد بیمه‌ای را می‌توان با اختیاری بر اوراق قرضه‌ای با قیمت اوج برابر با ارزش اسمی اوراق تقریب زد. اگر ارزش اوراق به زیر قیمت اوج، کاهش یابد صاحب اوراق حق دارد اوراق را در آن قیمت بفروشد. از این رو در عمل، شرکت بیمه نه تنها با شرکت‌های دیگر رقابت می‌کند، بلکه با بازار اختیار نیز در حال رقابت است.
۶) بازارهای کامل
روش‌هایی که توسط مرتون (۱۹۹۷) توسعه یافت، برای گسترش نظریه پویای بازارهای مالی به کار گرفته شد. در دهه ۱۹۵۰ آرو و دبرو نشان دادند که اگر به‌اندازه حالت‌های آینده در دنیا اوراق تضمینی مستقل وجود داشته باشد، چطور افراد یا شرکت‌ها می‌توانند ریسک‌های خاص خود را حذف کنند. البته این ممکن است مستلزم اوراق زیادی باشد. این یافته‌ها برای نشان دادن این امر توسعه یافتند که تعداد اندکی ابزارهای مالی برای حذف ریسک کافی هستند حتی اگر تعداد حالت‌های آینده بسیار زیاد باشد.
۷) اهمیت کاربردی و سایر کارهای علمی
مبادله اختیارات در سال ۱۹۷۳ یک ماه قبل از انتشار فرمول قیمت‌گذاری اختیار رواج یافت و تا سال ۱۹۷۵ مبادله‌کنندگان از این فرمول برای محاسبه قیمت و حمایت از موقعیت‌های اختیارات خود استفاده می‌کردند. امروزه،‌ هزاران سرمایه‌گذار و تاجر از این فرمول هر روز برای ارزش‌گذاری اختیارات سهام خود در بازارهای دنیا استفاده می‌کنند. چنین کاربرد سریع و گسترده‌ای از نتایج نظری در اقتصاد جدید بود. به خصوص آنکه ریاضیات استفاده شده در استخراج فرمول بخشی از آموزش رایج کارشناسان یا اقتصاددانان دانشگاهی در آن زمان نبود.
توانایی استفاده از اختیارات و سایر مشتقات در مدیریت ریسک‌ها کاملا ارزشمند است. برای مثال، مدیران از اختیارات برای کاهش ریسک افت‌های بزرگ در قیمت‌های سهام استفاده می‌کنند و شرکت‌ها از اختیارات و سایر ابزارهای مشتقات برای کاهش ریسک بهره می‌جویند. بانک‌ها و سایر موسسات از روش بلاک-مرتون-شولز برای توسعه و تعیین ارزش محصولات جدید استفاده می‌کنند. موسسات مالی، اقتصاددانان، ریاضی‌دانان و کارشناسان کامپیوتر را استخدام می‌کنند تا از دانش آنها در تحقیقات کاربردی نظریه اختیار استفاده کنند.
علاوه بر موارد عنوان شده، مرتون در تحلیل تصمیمات مصرف و سرمایه‌گذاری افراد در زمان پیوسته کارهای برجسته‌ای انجام داده است. او مدل CAPM مالی را به مدلی پویا بسط داد و فرمول قیمت‌گذاری اختیار تعمیم یافته را فرمول مدل CAPM در جهات مختلف بهبود داد. شولز هم اثر سود پرداختی در قیمت سهام را مطالعه کرد. او همچنین در تخمین عملی پارامتر b (پارامتری که ریسک سهام را در مدل CAPM و کارآیی بازار می‌سنجد) کارهایی را انجام داد.
به طور خلاصه مرتون و شولز به همراه بلاک فرمول پشرویی را در ارزش‌گذاری اختیار سهام توسعه دادند و روش آنها از اهمیت زیادی در ارزش‌گذاری اقتصادی در بسیاری زمینه‌ها برخوردار بوده و ابزارهای مالی نوینی را تولید کرده و مدیریت کارآتری از ریسک در جامعه را موجب شده است.